Кто написал произведение царевна лягушка?

Автора как такового нет - сказка народная. Пример того, как это работает: собиратель Александр Афанасьев в девятнадцатом веке записал и опубликовал один из вариантов сюжета, но сам сюжет про Ивана-царевича и заколдованную лягушку существовал в устной традиции задолго до всякой публикации.

Вывод: у «Царевны-лягушки» нет одного конкретного автора - это русская народная сказка, передававшаяся устно из поколения в поколение задолго до того, как её вообще записали.

Причина, почему в книгах всё же указывают имя: сказку в письменном виде зафиксировал и обработал фольклорист Александр Николаевич Афанасьев в девятнадцатом веке, собирая и публикуя русские народные сказки в своём знаменитом сборнике. Афанасьев не сочинял сюжет заново, а записывал варианты, услышанные от рассказчиков в разных губерниях, поэтому его правильнее называть не автором, а собирателем и составителем. Существует несколько вариантов сюжета с разными деталями - это тоже типичный признак именно народного, а не авторского происхождения текста.